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    2018年高中数学变化率与导数3.1变化的快慢与变化率课件5北师大版
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    * 第三章 变化率与导数 §1 变化的快慢与变化率 银杏树高:15米 树龄:1 000年 雨后春笋高:15厘米 时间:两天 世界上变化无处不在,如何刻画事物变化的快慢呢? ﹤ 1.理解函数平均变化率及瞬时变化率的概念. 2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率及某一点的瞬时变化率.(重点) 3.理解平均变化率及瞬时变化率的意义,能够解释生活中的现象.(难点) 探究点1 平均变化率定义 问题(1) 物体从某一时刻开始运动,设s表示此物体经过时间t走过的路程,显然s是时间t的函数,表示为s=s(t).在运动的过程中测得了一些数据,如表: t(s) 0 2 5 10 13 15 … s(m) 0 6 9 20 32 44 … 物体在0~2s和10~13s这两段时间内,哪一段时间运动得更快?如何刻画物体运动的快慢? 分析:我们通常用平均速度来比较运动的快慢. 在0~2s这段时间内,物体的平均速度为 在10~13s这段时间内,物体的平均速度为 显然,物体在后一段时间比前一段时间运动得快. 问题(2) 某病人吃完退烧药,他的体温变化如图所示: 比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况,哪段时间体温变化较快?如何刻画体温变化的快慢? y/(oC) x/min 0 10 20 30 40 50 60 70 36 37 38 39 分析:根据图像可以看出: 当时间x从0 min到20 min时,体温y从39 oC变为 38.5 oC,下降了0.5 oC; 当时间x从20 min到30 min时,体温y从38.5 oC变为 38 oC,下降了0.5 oC. 两段时间下降相同的温度,而后一段时间比前一段 短,所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快. 我们也可以比较这两段时间中,单位时间内体温的平 均变化量,于是当时间x从0 min变到20 min时,体温y 相对于时间x的平均变化率为 当时间x从20 min变到30 min时,体温y相对于时间x的平均变化率为 这里出现了负号,它表示体温下降了,显然,绝对值越大,下降得越快,这里,体温从20 min到30 min这段时间下降得比0 min到20 min这段时间要快. 分析 上面的第一个问题中,我们用一段时间内物体的平均 速度刻画了物体运动的快慢,当时间从t0变为t1时, 物体所走的路程从s(t0)变为s(t1),这段时间内物体 的平均速度是 第二个问题中,我们用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢,当时间从x0变为x1时,体温从y(x0)变为y(x1),体温的平均变化率 你能类比归纳出“函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率”的一般性定义吗? 抽象概括: 1.平均变化率的定义: 对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时, 函数值从f(x1)变为f(x2),它的平均变化率为 通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量的改变量, 记作 函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值的改变 量,记作 函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与 自变量的改变量之比,即 我们用它来刻画函数值在区间 上变化的快慢. 函数的平均变化率有如下的表示: x y B(x2,f(x2)) A(x1,f(x1)) O f(x2)-f(x1) =△y x2-x1 =△x 2.平均变化率的几何意义: 几何意义是曲线 上经过A,B两点的直线的斜率. 斜率的概念 思考1.表达式中f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序可以交换吗?它们本身前后两个式子可以交换吗? 提示: f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序不可交换,但它们本身的式子可以同时交换,如也可以写为 思考2.函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率如何计算? 提示:设x在x0附近的变化量为Δx,则平均变化率 提示:对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设 △x =x1-x0 △y =f(x1)-f(x0), 则函数的平均变化率是 思考:如何精确地刻画物体在某一瞬间的变化率呢? 探究点2 瞬时速度、瞬时变化率 则当△x 趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率. (1)瞬时变化率的表示 对于函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中 ①自变量的改变量:Δx=_____; ②函

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