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    2018年高中数学变化率与导数3.1变化的快慢与变化率课件6北师大版
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    * 问题的提出 问题一: 一个小球自由落体,它在下落3秒时的速度是多少? 问题二: 周长为60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱, 先在四角截去一个小正方形,然后把四边翻转90o角, 再焊接而成.水箱底边多长时, 水箱容积最大?最大容积是多少? x x 15-2x 15-2x 第三章 变化率与导数 在报纸或电视节目中, 我们有时会得到这样的信息: ……这种新研制的战斗机最大飞行高度18 000米, 最大冲刺速度1 480千米/时. 据某气象台报道, 某市在20日凌晨1~2时降雨强度达72毫米/时; 有的地方瞬间降雨强度达99毫米/时, 被称作“白雨”(眼睛已看不清景物). …… “冲刺速度” “降雨强度”刻画的是飞行的路程和降雨量瞬时变化的情况, 都是数学中导数概念的原型. 导数是数学中最重要的概念之一, 它在日常生活和科学研究中有广泛的应用. β P Q M Δx=x2-x1 Δy y=f(x) O x y 如图, 曲线C是函数 y=f(x)的图象, P(x1, y1)是曲线C上的任意一点, Q(x2, y2)为P 邻近一点, PQ为C 的割线, PM//x轴, QM//y轴, β为PQ的倾斜角. §1 变化的快慢与变化率 一、平均变化率 记: 自变量的改变量 Δx Δy=y2-y1 函数值的改变量 用它来刻画函数值在区间[x1, x2]上变化的快慢. 平均变化率 P o x y y=f(x) Q 切线 T 请看:当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况. Δx Δy 当Δx→0时 PQ →PT 某一常数 切线的斜率 1.切线:当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT. 则我们把直线PT 称为曲线在点P处的切线. 2.切线的斜率:设切线的倾斜角为α, 那么当Δx→0时, 割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 3.如何求曲线上一点的切线的斜率: (1)求Δy; 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②指出了切线斜率的本质——函数平均变化率的极限; ③说明切线是割线的极限位置,切线的斜率是一个极限. 二、瞬时变化率 (瞬时变化率) 例1. 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的斜率、切线方程. Q P y = x 2 +1 x y - 1 1 1 O j M D y D x 解: 因此, 切线方程为 y-2=2(x-1), 即y=2x. 例2.曲线y=x3在x=0处的切线是否存在?若存在, 求出切线的 斜率和切线方程, 若不存在, 请说明理由. 解: (1)Δy =f(0+Δx)-f(0) =(Δx)3 因此,切线方程为 y=0. y x -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 O x y 注意:曲线的切线, 并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个, 甚至可以无穷多个. 问:曲线在点x0处一定有切线吗? x y 4.曲线在点x0处的切线有以下几种情形: 说明曲线在x0处有切线, 且切线的斜率是k. 说明曲线在x0处有切线,但切线的斜率不存在. 说明曲线在x0处没有切线. 练习1.判断曲线y=2x2在点P (1, 2 )处是否有切线, 如果有, 求出 切线方程. 4x-y-2=0 第3秒 第3+?t秒 ?s 三、瞬时速度 当Δt →0时 常数29.4 *

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