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    山东十一选五预测:微积分(刘迎东)第九章习题答案.doc 37页

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    9.1 二重积分的概念与性质 习题9.1 根据二重积分的性质,比较下列积分的大?。?与,其中积分区域为由轴、轴与直线所围成。 解:因为在上,,所以。 与,其中积分区域为由圆周所围成。 解:因为在上,,所以。 与,其中积分区域为三角形闭区域,三顶点分别为 解:因为在上,,所以。 与,其中。 解:因为在上,,所以。 利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1),其中 解:在上,,所以 (2),其中 解:在上,,所以 (3),其中 解:在上,,所以 (4),其中 解:在上,,所以 9.2 二重积分的计算法 习题9.2 计算下列二重积分: ,其中 解: ,其中为由两坐标轴及直线所围成的闭区域。 解: ,其中 解: ,其中为顶点分别为和的三角形闭区域。 解: ,其中由所围成。 解: ,其中由所围成。 解: ,其中由所围成。 解: ,其中由所围成。 解: ,其中 解:区域关于轴对称,被积函数是的奇函数,所以 ,其中 解:区域关于轴对称,被积函数是的奇函数,所以 ,其中为单位圆 解: ,其中为 解: ,其中为由所围区域的公共部分。 解: ,其中为 解: ,其中为 解: ,其中为 解: ,其中由所围成。 解:做变换,则,所以 ,其中由所围成。 解:做变换,则,,所以 画出积分区域,并计算下列二重积分: (1),其中为由两条抛物线所围成的闭区域。 解: (2),其中为由圆周及轴所围成的右半闭区域。 解: (3),其中。 解: (4),其中为由直线及所围成的闭区域。 解: (5) ,其中为顶点分别为和的梯形闭区域。 解: (6),其中。 解: (7) ,其中。 解:由对称性 如果二重积分的被积函数是两个函数及的乘积,即,积分区域,证明此二重积分等于两个单积分的乘积,即 证明: 化二重积分 为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域为: 由直线及抛物线所围成的闭区域; 解: 由轴及半圆周所围成的闭区域; 解: 由直线及双曲线所围成的闭区域; 解: 环形闭区域; 解: 以为顶点的矩形; 解: 以为顶点的三角形; 解: 以为顶点的平行四边形; 解: 由所围成的区域; 解: 由所围成的区域; 解: 由所围成的区域; 解: 由所围区域的第一象限部分; 解: 设在上连续,其中为由直线及所围成的闭区域。证明 证明: 改变下列二次积分的积分次序: (1) 解: (2) 解: (3) 解: (4) 解: (5) 解: (6) 解: (7) 解: (8) 解: (9) 解:. (10) 解:. (11) 解:. (12) 解:. (13) 解:. 证明 证明:,其中为围成的区域,所以 应用二重积分证明:由射线与曲线所围扇形区域的面积为 证明: 求心脏线所围区域的面积。 解: 将二重积分表示成定积分。 解: 求 解: 求 解:由对称性, 求 解: 计算 解:做变换,则,,由对称性,,所以 计算 解: 引进变量替换将积分的公共部分)化为变量的累次积分。 解:做变换,则,所以 求曲线所围区域的面积。 解:。做变换,则,,所以 设平面薄片所占的闭区域由直线和轴所围成,其面密度,求该薄片的质量。 解: 计算由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积。 解: 求由平面所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体的体积。 解: 求由曲面及所围成的立体的体积。 解:联立得投影区域 所以 画出积分区域,把积分表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域为 (1) 解: (2) 解: (3)其中 解: (4) 解: (5) 解: (6) 解: (7) 解: (8)由所围区域的公共部分。 解: (9)由所围区域的公共部分。 解: 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1) 解: (2) 解: (3) 解: (4) 解: 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值: (1) 解: (2) 解: (3) 解: (4) 解: 设在闭区域上连续,且 求。 解: 所以, 利用极坐标计算下列各题: (1)其中为由圆周所围成的闭区域。 解: (2) 其中为由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。 解: (3)其中为由圆周及直线所围成的在第一象限内的闭区域。 解: 选用适当的坐标计算下列各题: (1)其中为由直线及曲线所围成的闭区域。 解: (2) 其中为由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。 解: (3)其中为由直线所围成的闭区域。 解: (4)其中为圆环形闭区域。 解: 设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧与直线所围成,其面密度为。求此薄片的质量。 解: 求由平面以及球心在原点、半径为的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积。 解: 计算以面上的圆周围成的闭区域为底,而以曲面为顶的曲顶柱体的体积。 解: 作适当的变换,计算下列二重积分: (1

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